公共経済学12: 最適労働所得税・賃金が内生変数のモデル2

前回（公共経済学11）のつづきです。
さて、政府の目的は次のような社会厚生の最大化であるとする。
　 
ここで  は政府の平等性選好を表すパラメータで、  と考える。この社会厚生関数は、一見すると、個人について対称ではなく、個人  を無条件に優遇する形となっている。しかし、政府は必ずしも個人  を無条件に優遇しているわけではない。あくまでも、これは2人モデルで最適値周りの限界条件だけを考える場合のモデル化である。つまり、標準的な社会厚生関数で原点に対して凸なものを念頭におき、  の厚生水準のほうが  よりも高い状態で局所的に直線で近似する。すると、最適値における  と  の効用のトレードオフが表され、上記のような社会厚生関数になるはずだ。 一方、政府にとっての制約式は２種類ある。１つ目は、税収制約で  。２つ目は誘引両立性制約で、
　 
　 
を考える。ただし、最適解においては、税収制約は等号で成立している。また、  についての誘引両立性制約が成り立てば、  についてのそれは自動的に成立するので、後者は無視してよい。そして、  についての誘引両立性制約は、最適解において等号で成立する。この２つの等式を使って、  と  を目的関数から消去しよう。すると、
　   .
ただし、  である。

練習問題４：政府の目的関数から  と  を消去して、上式を導出せよ。
前回の練習問題３でみたように、  を考えたいので、政府の目的関数を  に関して全微分する。最適値周りでは、その値はゼロとなるはずだ。すなわち、  . これを計算することによって、  が得られる。 　 

練習問題７：この不等式を導出せよ。
練習問題８：個人  が直面する限界税率の正負を判断し、理由を説明せよ。